STAGE 6シュレーディンガー方程式
井戸の中の電子を解く
🎯 ミッション
波動関数の従う運動方程式を知り、井戸型ポテンシャルの電子を解いて「エネルギーの量子化」を自分の手で導こう。
未達成
うさ美
ニュートン力学では、力が分かれば F＝ma で物体の運動がすべて予言できました。量子力学の ψ にも、そういう「大黒柱の方程式」があるんですか？
ねこ博士
あるよ。それが1926年にシュレーディンガーが書き下した、シュレーディンガー方程式だ。ψ が時間とともにどう変化するかを決める、量子力学の運動方程式だよ。ニュートン力学の F＝ma の席に、量子力学ではこの方程式が座っているんだ。
シュレーディンガー方程式（時間発展）： iℏ ∂ψ/∂t ＝ Ĥψ
エネルギーが決まった状態（定常状態）では： Ĥψ ＝ Eψ
Ĥ（ハミルトニアン）＝ 運動エネルギー ＋ 位置エネルギー を表す演算子。i は虚数単位、ℏ＝h/2π
うさ美
虚数単位の i が、物理の基本方程式に堂々と入っているんですね。ψ が複素数だという話は、飾りではなかったんだ……。
ねこ博士
いいところに気づいたね。さて、方程式は使ってこそ分かる。一番シンプルな問題を実際に解いてみよう。幅 L の「井戸」に閉じ込められた電子だ。井戸の中は自由に動けるけれど、壁は無限に高くて絶対に外へ出られない、という設定だよ。
うさ美
壁の外には絶対にいられないから、壁の位置では ψ＝0。つまり「両端が固定された弦」と同じ境界条件ですね。それなら井戸の幅に、半波長の整数個がぴったり収まる波しか残れません。
ねこ博士
完璧だ。許される波長は λ＝2L/n（n＝1, 2, 3, …）。あとは p＝h/λ とエネルギー E＝p²/2m に代入してごらん。エネルギーの式が自然に出てくるよ。
境界条件： 両端で ψ＝0 → λ ＝ 2L/n（n＝1, 2, 3, …）
p ＝ h/λ ＝ nh/2L
En ＝ p²/2m ＝ n²h² ／ 8mL² （n² に比例して飛び飛び！）
両端で ψ＝0 になれる定常波だけが生き残る。エネルギーは E₁ の 1倍・4倍・9倍…（n²倍）と飛び飛びになる
うさ美
エネルギーが飛び飛びになることを、仮定ではなく境界条件から導けた……！ それに n＝1 でも E₁ はゼロではないんですね。閉じ込められた電子は、完全には静止できない。
ねこ博士
それは前のステージの不確定性原理そのものだね。幅 L に閉じ込めた以上、運動量はゼロにはできない。この最低限のエネルギーを「零点エネルギー」と呼ぶんだ。原子や分子のエネルギーが飛び飛びなのも、根っこはこの井戸と同じ。方程式と境界条件が、世界の「デジタルさ」を生んでいるんだよ。
確認クイズ
Q1. シュレーディンガー方程式の役割として正しいのは？
正解！ ニュートン力学の F＝ma に当たる大黒柱。ψ の変化はこの方程式で完全に決まっていて、確率が顔を出すのは観測のときなんだ。
Q2. 井戸の中の電子のエネルギーが飛び飛びになる理由は？
正解！ 両端固定の弦と同じで、λ＝2L/n の波しか立てない。波長が飛び飛びなら、p＝h/λ を通じてエネルギーも飛び飛びになるんだ。
Q3. 幅 L の井戸のエネルギー準位 En は、n にどう依存する？
正解！ En＝n²h²/8mL²。準位の間隔は上に行くほど広がる。λ＝2L/n と p＝h/λ、E＝p²/2m をつなぐだけで導けるのが気持ちいいところだね。
Q4. 最低状態（n＝1）でもエネルギーがゼロにならないのはなぜ？
正解！ Δx が有限なら Δp はゼロにできない。この最低限の運動エネルギーが零点エネルギー。量子の世界に「完全な静止」は無いんだ。